Arc 1: Đến Dị Giới Mới Biết Không Có Phép Phản Chứng - Chương 3: Thế giới khác, Logic khác

「Để xem nào... Này, ngươi tên gì?」

Moldaca, người đáng lẽ đang vắt óc nghĩ đề bài, đột nhiên hỏi tôi. Hỏi tên làm quái gì chứ?

「Tate...」 Khoan đã, ở thế giới này, tên họ có vẻ được đặt ngược lại. 「Juntarou. Tategami Juntarou.」

「Juntarou à. Được rồi, đề bài đây. Đây là bài toán mà không một tên gia nhân nào của ta giải nổi. Thế nên, một kẻ như ngươi chắc chắn cũng bó tay thôi.」

Bài toán không ai giải được? Mình chẳng biết nhà cậu ta có bao nhiêu gia nhân, cũng không rõ trình độ toán học của họ tới đâu, nhưng nhìn cái mặt vênh váo của Moldaca thì chắc chắn đây là một bài toán cực khó.

Nhưng nếu là toán, tôi cũng không phải dạng vừa. Hồi cấp hai tôi luôn đứng đầu khối, lên cao trung thì ngày nào cũng vùi đầu ở Câu lạc bộ Nghiên cứu Toán học. Một bài toán do cái tên công tử bột này ra, mình sẽ giải trong nháy mắt.

「Sẵn sàng chưa? Nghe cho rõ đây.」

Moldaca tự tin ra đề.

「Hiện tại ở đây có ba người: Moldaca là nam, Juntarou là nam, và Iriha là nữ. Ai cũng biết Moldaca luôn nói thật, còn Juntarou luôn nói dối. Trong ba người, có hai người đã chỉ vào một người còn lại và nói, 'Người này là nữ'. Hỏi, người bị chỉ là ai?」

「…Hả?」

Cái quái gì đây. Tôi cứ tưởng sẽ là một bài toán hóc búa về lý thuyết số hay vi tích phân gì đó, ai ngờ lại là một câu đố logic. Mà còn là loại đơn giản đến nực cười.

Thấy tôi ngớ người, Moldaca phá lên cười.

「Này này, khó quá à? Hay là đến cả câu thần chú của Logic Ma thuật ngươi cũng quên béng mất rồi?」

Tôi liếc sang cô gái bên cạnh, cô ấy đang mang một vẻ mặt tuyệt vọng.

「Cậu cũng không giải được sao?」

「Bởi vì, câu đố này… tôi không biết phải dùng đến bao nhiêu tầng Logic Ma thuật nữa.」

Nãy giờ cô gái này toàn nói những điều khó hiểu. Chẳng lẽ lại có ma thuật giúp người ta thông minh hơn sao? Tiện thật, lát nữa phải nhờ cô ấy chỉ giáo mới được.

Quan trọng hơn, phải giải câu đố này đã. Ừm, trong ba người thì Moldaca luôn nói thật, Juntarou luôn nói dối, còn Iriha thì không rõ. Hai trong ba người đã nói người còn lại là "nữ", vậy thì…

「Người bị chỉ là Moldaca.」

Nghe tôi trả lời, nụ cười của Moldaca đông cứng lại.

「…Cái gì cơ?」

「Người bị chỉ là Moldaca. Sao nào? Đúng rồi chứ?」

「…」

Vẻ mặt cau có, Moldaca dúi cuốn sách vào ngực tôi.

Sau khi tôi nhận lấy, hắn ta tặc lưỡi một cái.

「Chậc!」

Rồi quay lưng bỏ đi.

Rốt cuộc là sao vậy trời.

Dù sao thì, cũng đã lấy lại được cuốn sách an toàn.

「À, cảm ơn anh…」

Cô gái nhận lại cuốn sách từ tay tôi, vẻ mặt chẳng vui vẻ gì cho cam.

「Vậy, tôi đi đây.」

Tôi định chuồn cho lẹ. Phải nhanh chân đến hiệu sách tìm một cuốn tương tự mới được. Hy vọng là có bán ở mấy quầy hàng ngoài chợ.

「Xin hãy đợi đã!」

Cô gái níu tay tôi lại. Vẻ mặt cô cực kỳ cương quyết.

「Tôi có cả núi câu hỏi muốn hỏi anh.」

「Ồ, à. Sao thế? Cứ hỏi đi, gì tôi cũng trả lời.」

「Vâng… Trước hết, xin cho phép tôi tự giới thiệu. Tôi là Iriha Absurd. Như anh đã đoán, tôi là con gái của vợ chồng nhà Absurd.」

Ủa, mình có đoán được gì đâu? Sao cả hai người này đều nói chuyện cứ như thể tôi biết tỏng mọi thứ rồi vậy.

「Anh là Juntarou-san, phải không ạ? Xin hãy cho tôi biết, tại sao anh lại giải được câu đố đó? Mà lại còn không cần dùng đến Logic Ma thuật nữa.」

Là chuyện về câu đố lúc nãy à.

「Tôi chỉ dùng phép phản chứng thôi. Nếu giả sử người bị chỉ là Iriha, thì tôi, kẻ nói dối, phải nói 'đó là đàn ông', nên mâu thuẫn. Nếu giả sử người bị chỉ là chính tôi, thì Moldaca, người nói thật, phải nói 'đó là đàn ông', cũng mâu thuẫn. Vậy nên, người bị chỉ chỉ có thể là Moldaca.」

Tôi giải thích một lèo, Iriha chỉ nghiêng đầu thắc mắc.

「Xin lỗi, 'hairihou' là gì ạ?」

「Hả?」

C-cô không biết phép phản chứng à!

Mà thôi, cũng có người không biết thật. Với mình thì đó là kiến thức cơ bản, nhưng ở Nhật Bản phải lên cao trung mới được học. Iriha trông cũng trạc tuổi tôi, nhưng có vẻ cô ấy bị phân biệt đối xử, nên có lẽ không được đi học đàng hoàng.

Hửm? Nhưng nếu vậy thì tại sao cô ấy lại có cuốn sách về giả thuyết Riemann chứ? Một người có trình độ đọc được cuốn sách như vậy không thể nào không biết phép phản chứng.

「Phép phản chứng là một trong những phương pháp chứng minh trong toán học. Iriha, cậu rành toán mà, đúng không?」

「Vâng, tôi nghĩ là mình rành hơn người bình thường. Tôi đã đọc hết sách toán ở nhà rồi. Nhưng 'hairihou' thì đây là lần đầu tôi nghe thấy.」

Càng lúc càng khó hiểu. Có loại sách toán nào trên đời mà lại không có phép phản chứng cơ chứ?

「Đó là phương pháp chứng minh như thế nào ạ?」

「Đó là một lập luận mà trong đó ta giả định điều ngược lại với mệnh đề cần chứng minh, rồi từ đó dẫn đến một mâu thuẫn. Khi mâu thuẫn xuất hiện, nghĩa là giả định ban đầu đã sai. Phủ định của mệnh đề đã sai, vậy thì cái đúng chính là phủ định của phủ định, tức là mệnh đề mà ta muốn chứng minh.」

Iriha lại nghiêng đầu. Mà thôi, tự dưng nghe mỗi thế này thì sao mà hiểu cho nổi.

「Để xem nào, lấy một ví dụ nhé… Được rồi, hãy chứng minh rằng có vô số số nguyên tố. Cậu biết số nguyên tố chứ?」

「Vâng, em biết ạ.」

「Tốt. Bây giờ, ta giả sử rằng số nguyên tố là hữu hạn, tức là có một số nguyên tố lớn nhất, gọi là P.」

「Nhưng số nguyên tố là vô hạn mà?」

「Thì đây là giả định thôi mà. Ta cứ giả sử là có một số nguyên tố lớn nhất P đi.」

「Ý anh là, giả sử rằng ta đã xây dựng được một số nguyên tố lớn nhất, phải không ạ?」

「Nghe có vẻ hơi khác một chút nhưng… tạm thời cứ cho là vậy đi. Giờ, ta lấy tích của tất cả các số nguyên tố và gọi nó là S. Sau đó, ta cộng 1 vào, và xét số S+1. Số này lớn hơn P, đúng không?」

「Có phải vì S là vô hạn không ạ?」

「Không, đã bảo là bây giờ số nguyên tố hữu hạn mà. Lớn nhất cũng chỉ đến P thôi, nên tích của chúng là một giá trị hữu hạn. Vì vậy S và S+1 đều hữu hạn.」

Iriha có vẻ vẫn chưa hiểu lắm. Cách giải thích này không ổn rồi sao?

Tuy nhiên, dù đang nhăn mặt, cô ấy vẫn tỏ ra tạm chấp nhận.

「Tích của các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng P, cộng thêm 1, sẽ tạo ra một số lớn hơn P… Vâng, đến đó thì đúng ạ.」

「Tốt, cứ thế đi. Bây giờ, S+1 chắc chắn là một hợp số. Bởi vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất P, nên không thể là số nguyên tố được. Đương nhiên nó cũng không phải là 1. Do đó, nó là hợp số.」

「Ể? Nhưng S+1 không chia hết mà, đúng không ạ? S là tích của các số nguyên tố, nên S+1 chia cho bất kỳ số nguyên tố nào cũng sẽ dư 1.」

「Đúng! Chính xác! S+1 là hợp số, nhưng lại không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào. Đây là một mâu thuẫn. Do đó, không tồn tại số nguyên tố lớn nhất, và số nguyên tố là vô hạn!」

「Hà, ra là vậy, đó là 'hairihou' sao ạ.」

Cô ấy hiểu rồi!

Tôi đã nghĩ vậy, nhưng Iriha vẫn nghiêng đầu thắc mắc.

「Ừm thì, từ một mâu thuẫn có thể suy ra bất kỳ mệnh đề nào, nên chắc là vậy ạ.」

「KHÔNG PHẢI THẾ MÀAAAAA!!」

Cái cô gái này là sao vậy! Năng lực toán học rõ ràng không hề thấp! Có thể nhận ra ngay lập tức rằng S+1 không chia hết, vậy tại sao lại không thể hiểu được phép phản chứng chứ!?

Nghĩ lại thì, tại sao Moldaca lại ra một bài toán đơn giản như vậy? Chẳng lẽ, hắn ta cũng không biết phép phản chứng sao?

「Hơn nữa, không cần phải làm điều phức tạp như vậy. Việc chứng minh số nguyên tố là vô hạn có thể làm một cách đơn giản hơn nhiều.」

「H-Hả, làm thế nào?」

Tôi hỏi trong tâm trạng gần như tuyệt vọng.

Dù vậy, tôi cũng thấy tò mò. Có lẽ Iriha chưa được học toán một cách bài bản, nhưng cô ấy rõ ràng có năng khiếu. Trong tình trạng đó, cô ấy sẽ chứng minh tính vô hạn của số nguyên tố như thế nào?

「Hỡi ngòi bút, hiện thân!」

Khi Iriha niệm chú, một cây gậy gỗ giống chiếc đũa hiện ra trong tay cô.

「Việc số nguyên tố là vô hạn có thể được chứng minh bằng cái này.」

Iriha đứng cạnh tôi, vung cây gậy như một nhạc trưởng. Lập tức, các ký tự được viết lên không trung.

Cái gì đây, tiện lợi quá!

Tôi hào hứng theo dõi những ký tự đang nhảy múa.

Tất nhiên đó là những ký tự tôi chưa từng thấy, nhưng đầu óc tôi tự động chuyển đổi chúng.

Đó là một công thức toán học. Bản thân công thức không được "dịch", nhưng tôi hiểu ý nghĩa của từng ký hiệu. Ký hiệu này là "=", còn cái này là "+".

Đó là một công thức dài và phức tạp. Một công thức tôi chưa từng thấy bao giờ.

Nhưng, tôi đã hiểu ra.

「LÀ CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CHO SỐ NGUYÊN TỐ ーーーー!?!?」

Iriha giật mình nhảy dựng lên.

「C-Có chuyện gì vậy ạ?」

「Ra là thế! Chỉ cần thay số tự nhiên vào biến này là sẽ được số nguyên tố thứ n! Và vì số tự nhiên là vô hạn, nên số nguyên tố cũng vô hạn! Nhưng mà dùng dao mổ trâu để giết gà quá rồi đấy!!」

「Từ nãy đến giờ anh làm sao vậy?」

Tôi mới là người muốn hỏi đây! Cái quái gì thế này, nền toán học của thế giới này. Công thức tổng quát của số nguyên tố đã được biết đến, giả thuyết Riemann cũng đã được giải, vậy mà lại không có phép phản chứng? Chuyện vô lý như vậy, không thể nào có được!

「Này, cậu thật sự không biết à? Phép phản chứng ấy? Hay là nó quá hiển nhiên đến mức không có tên? Hay là bản dịch bị lỗi?」

「Lỗi của Ma thuật Dịch thuật ạ? Cũng có thể. Lời nói của Juntarou-san từ lúc nãy thỉnh thoảng có chút kỳ lạ.」

「Vậy ra là thế thật à. Nhưng gay go rồi. Tôi cũng đâu phải là người dịch…」

Iriha nghiêng đầu với vẻ mặt khó xử.

「Nhưng mà, trước cả vấn đề dịch thuật, có những điểm trong logic của anh rất kỳ lạ.」

「Chỗ nào?」

「Ví dụ như chứng minh về tính vô hạn của số nguyên tố lúc nãy, đó không phải là một chứng minh. Bởi vì nó không cho chúng ta biết cách xây dựng các số nguyên tố. Một chứng minh chỉ có giá trị khi, và chỉ khi, nó chỉ ra được phương pháp để tạo nên đối tượng đó. Đây là nguyên tắc tối thượng của toán học!」

「…!!」

C-Cái gì cơ?

Cách giải thích này, tôi có nghe ở đâu rồi.

Đúng rồi, trước đây ở Câu lạc bộ Nghiên cứu Toán học, Kenichi đã từng nói.

Cái gọi là "logic" mà chúng ta biết, thực ra chỉ là một trong số rất nhiều loại logic. Người ta hoàn toàn có thể xem xét các hệ thống logic khác nhau, được xây dựng trên những tiền đề khác nhau.

Lời giải thích của Iriha chính là một trong những loại logic tôi đã nghe lúc đó… Logic Trực giác!

Chúng ta dùng logic để làm toán.

Chúng ta tin rằng toán học là đúng, nhưng sự đúng đắn đó được đảm bảo bởi sự đúng đắn của logic.

Vậy thì, làm thế nào để đảm bảo sự đúng đắn của logic?

Một trong những câu trả lời cho câu hỏi đó chính là ý tưởng "phải chỉ ra được phương pháp cấu thành nó". Để chứng minh một mệnh đề P(x) đúng với một x nào đó, ta phải chỉ ra được cách tạo ra x đó. Để chứng minh có vô số số nguyên tố, ta phải thực sự chỉ ra được cách để tạo ra vô số số nguyên tố.

Có thể nói, "sự đúng đắn của logic" đã được dựa vào "việc con người có thể kiểm chứng được nó". Logic dựa trên tư tưởng này được gọi là "Logic Trực giác".

Logic Trực giác có những điểm tương đồng và cũng có những điểm khác biệt với "Logic Cổ điển" mà chúng ta thường dùng.

Trong số đó, sự khác biệt lớn nhất và dễ nhận thấy nhất.Chính là sự tồn tại hay không của phép phản chứng.

Phép phản chứng tạo ra mâu thuẫn từ việc phủ định mệnh đề. Do đó, thứ ta thu được từ nó chỉ là "phương pháp tạo ra mâu thuẫn", chứ không thu được bất kỳ thông tin nào về bản thân mệnh đề. Đối với người theo chủ nghĩa trực giác, đây hoàn toàn không phải là một chứng minh.

Vì vậy, trong Logic Trực giác, phép phản chứng không tồn tại!

「Không thể nào…」

Tôi khuỵu gối, ngã quỵ.