「Bài thuyết trình của tôi là, giải quyết Vấn đề Dừng.」
Khi tôi cho họ xem tiêu đề trên slide, các nhà toán học đã tỏ ra kinh ngạc. Điều đó là đương nhiên. Đối với thế giới này, đây là một vấn đề trọng đại ảnh hưởng đến mọi lĩnh vực của toán học.
Tuy nhiên, sự hứng thú đó chỉ kéo dài trong chốc lát, rồi họ nhanh chóng bắt đầu nhìn tôi bằng ánh mắt nghi ngờ. Điều đó cũng là đương nhiên. Là vấn đề nổi tiếng và quan trọng nhất, chắc hẳn đã có vô số nhà toán học công bố những thứ trông giống như chứng minh. Và tất cả chúng đều đã sai.
Vì vậy, bài thuyết trình của tôi cũng sẽ bị nhìn qua lăng kính rằng chắc nó cũng sai.
Dù sao đi nữa, tôi vẫn tiếp tục bài thuyết trình. Không sao cả, chứng minh này là đúng. Ít nhất là ở thế giới của chúng tôi.
Vấn đề Dừng là câu hỏi: "Có tồn tại một thuật toán để xác định xem một thuật toán cho trước có dừng lại hay không?". Có lẽ nói "hoàn thành" sẽ dễ hiểu hơn là "dừng". Khi nhập một dữ liệu x bất kỳ vào một thuật toán A bất kỳ, liệu có thể xác định trước được rằng A sẽ hoàn thành một cách chính xác mà không bị lặp vô hạn hay không.
Chứng minh này sử dụng phép phản chứng.
Giả sử tồn tại một thuật toán T như vậy. Một thuật toán mà nếu A dừng thì T(A,x) trả về Yes, còn nếu A lặp vô hạn thì T(A,x) trả về No.
Sử dụng T này, ta có thể tạo ra một thuật toán Q như sau.
Khi nhập A vào A, nếu A dừng (tức là T(A,A)=Yes) thì nó sẽ lặp vô hạn, còn nếu A lặp vô hạn (tức là T(A,A)=No) thì nó sẽ dừng.
Vậy, nếu nhập Q vào thuật toán Q này thì sao?
Nếu Q(Q) dừng, điều đó có nghĩa là T(Q,Q)=Yes, tức là Q là một thuật toán lặp vô hạn, điều này mâu thuẫn.
Ngược lại, nếu Q(Q) lặp vô hạn, điều đó có nghĩa là T(Q,Q)=No, tức là Q là một thuật toán sẽ dừng, điều này cũng mâu thuẫn.
Tóm lại, khi nhập Q vào Q, dù nó dừng hay lặp vô hạn cũng đều dẫn đến mâu thuẫn.
Vì giả định sự tồn tại của T đã dẫn đến mâu thuẫn, nên giả định đó là sai. Tức là, T không tồn tại!
Đó là những gì tôi đã giải thích trong khoảng 10 phút, vừa lật từng slide giấy.
「Trên đây là câu trả lời cho Vấn đề Dừng. Xin cảm ơn quý vị đã lắng nghe.」
Tôi cho họ xem slide tóm tắt cuối cùng.
Nào, phản ứng của các nhà toán học ra sao đây!?
Năm nhà toán học khoanh tay và trầm ngâm. Có vẻ không phải là một phản ứng tích cực.
「Ừm, có lẽ tôi hiểu hơi chậm, nhưng tóm lại là có thể tạo ra T được không?」
「Không, không thể tạo ra được.」
「Ể, nhưng lúc nãy anh nói chuyện với giả định là có thể tạo ra được mà?」
「Thì đó chính là giả định. Và kết quả là đã phát sinh mâu thuẫn.」
「Hà, giả định. Ừm…」
Cũng có nguy cơ bị gạt phăng đi vì hoàn toàn không hiểu, nhưng các nhà toán học đã cố gắng để hiểu nó một lần.
「Anh đã giả định là có thể tạo ra, nhưng lại không chỉ ra cách cấu thành. Nói là có thể cấu thành mà không rõ phương pháp thì…」
「Điều quan trọng trong chứng minh này không phải là phương pháp cấu thành, mà là kết quả sau khi cấu thành. Chúng ta hãy xem xét điều gì sẽ xảy ra nếu có thể tạo ra nó.」
「Hà… hừm…」
Các nhà toán học có vẻ vẫn chưa thông suốt. Họ bắt đầu xì xào bàn tán với nhau.
「Chứng minh này cứ như bị bao phủ trong sương mù vậy.」
「Đây không phải là một chứng minh. Chỉ là một bài văn thôi.」
「Logic của từng phần thì có thể hiểu, nhưng tổng thể lại có vẻ vô lý…」
「Không phải là phương pháp quy nạp cộng (một trong những phương pháp tiêu biểu để chứng minh sự không tồn tại) cũng không phải là phương pháp ly tán cổ điển (tương tự). Một phương pháp chứng minh chưa từng nghe thấy bao giờ.」
「Không, tôi đã từng thấy một chứng minh tương tự rồi.」
Ồ?
Nhà toán học nhỏ con ở góc phòng đã nói một điều bất ngờ.
Đến đây, tôi định sẽ cho họ xem slide giải thích về phép phản chứng. Nhưng nếu có một nhà toán học biết về nó thì lại là chuyện khác.
Mà không, ông ấy có thật sự biết không? Tại sao lại biết? Nhà toán học này là ai?
「Đó là chứng minh gì vậy, thưa ngài Todolt?」
「Là một phương pháp rất kỳ lạ, đã từng thịnh hành trong một thời gian ngắn ở một vài vùng đất cổ đại.」
Cái gì vậy.
Nhà toán học được gọi là Todolt nhìn vào mắt tôi và hỏi.
「Có phải cậu đã đọc các tài liệu của người Kuyuri không?」
Tài liệu của người Kuyuri? Là sao?
Tôi liếc nhìn Iriha ở phía sau.
Đúng là tôi đã đọc vài cuốn sách của Iriha. Nhưng chắc không phải ý đó.
Làm sao đây. Có nên hùa theo không? Không, không được. Nếu giả vờ biết mà bị phát hiện, thì sẽ mất hết uy tín ngay lập tức.
「Không, tôi chưa đọc. Hay đúng hơn, tôi không hiểu ý ngài là gì.」
「Hừm, vậy sao…」
「Có tài liệu nổi tiếng nào sao ạ?」
「Gần đây, trong giới các nhà sử học toán học có một nhóm tài liệu đang gây chú ý. Ta không biết cậu biết đến đâu về lịch sử nước ta… nhưng gần đây, nước ta đã bắt đầu dịch một lượng lớn các tài liệu của người Kuyuri cổ đại. …Vì nhiều lý do.」
Ông Todolt cười gượng, liếc nhìn Iriha. Nhiều lý do chắc là chuyện phân biệt đối xử. Từ khi Quốc vương hiện tại lên ngôi, sự phân biệt đối xử với người Kuyuri đã giảm mạnh, và việc nghiên cứu các di sản văn hóa của người Kuyuri đã bắt đầu.
「Trong số đó, có một tài liệu sử dụng một lập luận kỳ lạ. Mà không chỉ một hai. Nhiều người đã sử dụng một lập luận tương tự. Đó là một lập luận mờ ảo, giống như cậu vừa sử dụng. Hiện tại, chúng tôi, các nhà sử học toán học, đang cố gắng để hiểu ý nghĩa của nó.」
Ra vậy, người này là một nhà sử học toán học… một người nghiên cứu lịch sử của toán học. Vì vậy, ông ấy biết về toán học cổ đại. Và trong đó, đã thấy được mầm mống của phép phản chứng sao?
Nhưng, ở thế giới hiện tại này, lại không có phép phản chứng. Ngay cả Iriha, một người Kuyuri, cũng không biết.
「Tại sao phương pháp đó lại bị thất truyền?」
「Chuyện đó vẫn đang được điều tra, nhưng có lẽ, người thời đó cũng không hiểu ý nghĩa của nó. Và rồi đến một thời điểm nào đó, nó đột nhiên không còn được sử dụng nữa.」
Tại sao lại vậy? Đối với người của thế giới này, Luật bài trung hay phép loại bỏ phủ định kép lại khó hiểu đến vậy sao? Và tại sao người Kuyuri lại đạt được đến đó, rồi tại sao lại từ bỏ nó?
「Cậu có thể giải thích phương pháp của họ không?」
「V-Vâng. Có thể ạ. Xin hãy xem slide tiếp theo.」
Dù hơi khác so với kế hoạch, tôi vẫn mở slide giải thích về phép phản chứng.
Nếu đưa Luật bài trung vào làm tiên đề, thì có thể suy ra được phép loại bỏ phủ định kép. Tức là, phủ định của phủ định là khẳng định.
Giả định phủ định của mệnh đề cần tìm, rồi dẫn đến một mâu thuẫn, thì phủ định của mệnh đề đó sẽ bị phủ định. Do đó, từ phép loại bỏ phủ định kép, có thể chỉ ra rằng mệnh đề cần tìm là đúng.
Tôi đã giải thích điều đó một cách cặn kẽ.
「Ra vậy, logic thì tôi đã hiểu. Hiểu thì hiểu, nhưng vẫn khó mà chấp nhận được.」
「Một chứng minh như thế này không có giá trị toán học.」
「Luật bài trung quá mạnh để làm một tiên đề, và còn đi ngược lại trực giác.」
「Vốn dĩ, từ một mâu thuẫn có thể suy ra bất kỳ mệnh đề nào. Đã mất công dẫn đến mâu thuẫn rồi, thì cần gì phải dùng đến phép loại bỏ phủ định kép nữa?」
Trong khi bốn trong năm người tỏ thái độ tiêu cực, chỉ có ông Todolt là đang run rẩy vì xúc động.
「Ra vậy, ra vậy… Với logic đó, cả tài liệu này lẫn tài liệu kia đều có thể hiểu được. Đây, đây có thể sẽ là một phát hiện cực kỳ lớn…!」
Xem ra tôi đang gặp rắc rối. Bốn trong năm người không chấp nhận bài thuyết trình của tôi.
Ngay khi tôi định mở miệng để cố gắng thuyết phục, Đức vua đã giơ tay lên.
「Đây là một câu chuyện rất thú vị, nhưng đã quá thời gian cho phép. Xin hãy kết thúc bài thuyết trình của Tategami-san tại đây.」
Ực, đến đây thôi sao.
Giờ chỉ còn cách đặt cược vào việc ông Todolt, người duy nhất chấp nhận, có thể thuyết phục được bốn người còn lại.
Trông cậy vào ông cả đấy, chuyên gia lịch sử toán học!!
Tôi cúi chào rồi trở về chỗ ngồi.
Người thuyết trình tiếp theo, cuối cùng cũng là người cuối cùng, Moldaca.
「Tôi là Moldaca Gerono. Bài thuyết trình của tôi là cái này.」
Moldaca lấy ra một tờ giấy từ túi áo.
Không lẽ, cũng là slide giấy giống tôi sao?
Các nhà toán học cũng đã chuẩn bị tinh thần, nhưng không phải.
Moldaca mở tờ giấy ra. Trên tờ giấy to bằng một tấm poster có vẽ một hoa văn kỳ lạ. Đó là, một vòng tròn ma thuật sao? Không phải "ma phương trận" trong toán học, mà là "ma pháp trận" dùng để sử dụng ma thuật.
Moldaca trải nó ra sàn rồi niệm chú.
「"To Yobuko Ko". Hiện ra đi, Kitira.」
Vòng tròn ma thuật phát sáng. Trong ánh sáng đó, một thứ gì đó mờ ảo hiện ra. Đó là… một cái hộp?
Khi ánh sáng tắt, ở đó hiện ra một cái hộp đen to lớn. Cao 2 mét, rộng và sâu khoảng 3 mét, một cái hộp lớn không có trang trí gì đặc biệt. Có hai cái lỗ hình chữ nhật, có vẻ như có thể cho hoặc lấy thứ gì đó ra từ đó.
「Đó là cái gì vậy?」
「Đây là thiết bị duy nhất trên thế giới do tôi chế tạo. Và là một thiết bị hoàn toàn mới.」
Như thể đây là thời khắc quyết định, Moldaca nói một cách mạnh mẽ.
「Một thiết bị để tính toán.」
Người kinh ngạc nhất trước những lời đó.
Không ai khác, chính là tôi.
「M-Máy tính!?」