Vì chỉ có một cuốn sách, Minori đã dùng ma thuật để nhân nó lên thành ba bản.
「Sao chép nhanh quá… Vấn đề bản quyền có sao không?」
「Ai biết? Sao hả, Iriha?」
「Em nghĩ là không sao đâu ạ. Dù gì thì cuốn sách này cũng sẽ không được xuất bản nữa.」
「Ể? Tại sao?」
「Cha em đã nói. Trong thời gian bị bắt cóc, ông đã nói chuyện với Ma vương về Giả thuyết Riemann, và đã nghĩ ra cách cải tiến chứng minh. Vì vậy, ông nói sẽ viết lại sách một chút. Bên nhà xuất bản có vẻ không hài lòng lắm.」
「Minori, cô ảnh hưởng đến con tin quá nhiều rồi đấy.」
Dù tôi có chỉ ra, Minori vẫn chẳng thèm để ý.
「Ngược lại, tôi đã làm một việc tốt. Tôi đã giúp nền toán học của thế giới này cải tiến hơn một chút.」
Vẫn là một con nhỏ tự phụ như mọi khi.
「Ủa? Vậy Minori biết nội dung chứng minh rồi à?」
「Chỉ là tổng quan thôi, tôi chưa hiểu sâu. Sẽ học bằng cách đọc bây giờ đây.」
「Iriha thì sao?」
「Em cũng đã đọc cuốn sách này rồi, nên cũng hiểu được một chút ạ.」
「Vậy là chỉ có mình tôi là hoàn toàn không biết gì à.」
Chúng tôi quyết định mỗi người tự đọc sách, và sau mỗi chương sẽ thảo luận để giải quyết những điểm chưa hiểu. Cái mà người ta gọi là đọc luân phiên.
Sách có ba chương. Đầu tiên, ở chương một, nhiều mệnh đề nhỏ được chứng minh. Sau đó, sử dụng chúng, một bổ đề quan trọng được chứng minh ở chương hai. Cuối cùng, ở chương ba, sử dụng bổ đề của chương hai để chứng minh Giả thuyết Riemann. …Iriha đã giải thích như vậy.
Và ngay từ chương một, tôi đã vấp phải khó khăn.
Hàng chục mệnh đề được chứng minh liên tiếp. Hơn nữa, những mệnh đề này lại liên kết với nhau một cách chặt chẽ, chỉ cần không hiểu kỹ một cái là những mệnh đề sau cũng không thể hiểu được.
Mà không, những cuốn sách toán như thế này cũng có ở thế giới của chúng tôi. Hay đúng hơn, đó là quy tắc của sách toán. Vì vậy, đó không phải là vấn đề.
Vấn đề lớn nhất là, các chứng minh có rất nhiều chỗ bị lược bỏ. Hơn nữa, tôi không biết đó là do tác giả, hay là do kiến thức của mình còn thiếu. Rất có thể tôi chỉ là không biết những định lý nổi tiếng hay những phương pháp chứng minh điển hình ở thế giới này.
「Đại khái là như vậy đấy,」
tôi nói với Iriha về cảm nhận của mình sau khi đọc chương một. Nếu Iriha cũng cảm thấy tương tự, thì lỗi là do tác giả.
「Đúng là có những chỗ khó, nhưng phần lớn em đều hiểu được ạ.」
「Vậy là do mình à…」
Toán học, càng học càng thấy mình học chưa đủ.
「Minori-san thì sao?」
「Tôi cũng có vài chỗ vướng mắc. Ví dụ như mệnh đề 1.5, đọc thế nào cũng thấy họ đang đánh đồng hàm số f và thuật toán f. Có định lý nào như vậy sao?」
「Có đấy ạ…」
「Có à…」
Iriha làm một vẻ mặt như thể "Đến cả chuyện đó cũng không biết sao". Vì cô ấy hiền nên không nói ra miệng, nhưng trên mặt thì viết rõ như vậy. Chắc hẳn đây là một định lý thông thường ở thế giới này.
「Em hiểu rồi. Em sẽ giải thích từ đầu!!」
「Không, như vậy thì tốn thời gian lắm.」
Tôi nhẹ nhàng hạ nắm đấm mà Iriha vừa giơ lên.
「Bây giờ tôi chỉ muốn nắm được ý chính thôi. Cậu nói những mệnh đề này là để chứng minh bổ đề ở chương hai, đúng không. Đó là bổ đề gì?」
Bổ đề là một định lý cần thiết để chứng minh một định lý chính. Định lý chính của cuốn sách này là Giả thuyết Riemann, và định lý ở chương hai là một định lý phụ trợ để chứng minh Giả thuyết Riemann.
Và nhóm mệnh đề ở chương một là các định lý để chứng minh nó. Tức là, bổ đề của bổ đề. Chương một là sự chuẩn bị cho sự chuẩn bị của Giả thuyết Riemann.
「Bổ đề ở chương hai là một phiên bản mở rộng của thuật toán tính toán các điểm không của hàm zeta.」
Thuật toán là một quy trình thực hiện để giải quyết một vấn đề nào đó. Hàm zeta có dạng một tổng vô hạn, nên nếu muốn tính toán cụ thể thì cần phải có một số thủ thuật. Ở thế giới của chúng tôi cũng có các quy trình tính toán, và ở thế giới này chắc cũng có một thuật toán để thực hiện nó một cách cụ thể.
「Ngay sau khi Giả thuyết Riemann được đưa ra, một thuật toán có thể tính toán tất cả các điểm không có phần thực bằng 1/2 đã được phát minh, và người ta đã chỉ ra rằng có vô số điểm không như vậy.」
「Tính toán hết tất cả sao? Dù có vô số?」
「Việc tính toán thực tế là không thể, nhưng từ thuật toán, chúng ta có thể biết được số lượng các điểm không. Người ta đã chứng minh được rằng có thể cấu thành vô số điểm từ thuật toán.」
Giống như chứng minh tính vô hạn của số nguyên tố nhỉ. Ở thế giới này, để chỉ ra sự tồn tại của một thứ gì đó, người ta phải chỉ ra cách cấu thành nó. Khi chứng minh tính vô hạn của số nguyên tố thì dùng công thức toán học, nhưng dùng thuật toán để chỉ ra cũng được.
「Nhưng, như vậy thì không thể chứng minh được Giả thuyết Riemann.」
「Đúng vậy.」
Giả thuyết Riemann là một giả thuyết cho rằng "tất cả các điểm không không tầm thường của hàm zeta đều nằm trên đường thẳng có phần thực bằng 1/2". Vì vậy, để chứng minh Giả thuyết Riemann, phải chỉ ra rằng không có điểm không không tầm thường nào ở những nơi khác ngoài đường thẳng có phần thực 1/2. Dù có tìm thấy bao nhiêu điểm không trên đường thẳng 1/2 đi nữa, cũng không thể coi là đã chứng minh.
「Vì vậy, nhiều thuật toán tính toán các điểm không ngoài đường thẳng 1/2 đã được phát minh bằng nhiều phương pháp khác nhau. Các thuật toán tính toán điểm không có phần thực lớn hơn hoặc bằng 1, hoặc nhỏ hơn hoặc bằng 0 đã được tạo ra, và người ta đã chỉ ra rằng không thể có điểm không không tầm thường nào trong các khoảng đó.」
「Họ đã thu hẹp phạm vi từng chút một.」
「Vâng. Nhưng từ đó, trong suốt mấy chục năm, không có tiến triển gì. Sau một thời gian dài trì trệ, chỉ vài năm trước, một phát minh vĩ đại đã ra đời.」
Giọng Iriha trở nên nhiệt huyết. Đây mới là phần chính.
「Một thuật toán tìm kiếm các điểm không có cùng phần thực với một điểm không cho trước, 'Thuật toán Gerono', đã được phát minh.」
「Cái đó… có tuyệt vời lắm không?」
「Điểm tuyệt vời của Thuật toán Gerono là nó đã sử dụng một ý tưởng hoàn toàn mới, khác biệt so với các thuật toán trước đây. Nhìn thấy ý tưởng đó, một làn sóng nhiệt tình với Giả thuyết Riemann lại dấy lên trên toàn thế giới. Và cuối cùng, cha mẹ tôi đã làm được.」
Iriha lật sách, mở đến chương hai.
「Một thuật toán tìm kiếm các điểm không có cùng phần thực với một 'điểm' cho trước. Đây là thứ mà cha mẹ tôi đã phát minh ra.」
「Thuật toán Gerono mở rộng…」
「Bây giờ thì nó có tên này, nhưng rồi sẽ được gọi bằng tên của cha mẹ em thôi.」
Iriha tỏ ra chắc chắn.
「Không phải là một điểm không cho trước, mà là một điểm, có nghĩa là,」
「Vâng. Nhờ thuật toán này, với một số thực bất kỳ, chúng ta có thể tìm thấy một điểm không có phần thực là số đó. Và trong chương ba của cuốn sách này, người ta đã chỉ ra rằng không thể cấu thành được điểm không nào có phần thực khác 1/2 đối với các số thực từ 0 đến 1. Do đó, Giả thuyết Riemann là đúng.」
Nghe lời giải thích của Iriha, tôi nhận ra một vài bổ đề đúng là có vẻ liên quan đến đó. Và chính vì thế, sự thật rằng "Giả thuyết Riemann đã được chứng minh" đột nhiên trở nên thực tế hơn. Trước đây, nó chỉ là một "tin đồn hay nghe" xa vời, vậy mà giờ đây, tôi có cảm giác như đã nắm được nó trong lòng bàn tay.
Trong tôi, hai cảm xúc mâu thuẫn đồng thời trỗi dậy. Một mong muốn nhanh chóng hiểu được nó, và một nỗi lo lắng liệu có ổn không khi hiểu nó.
Giống như công thức tổng quát của số nguyên tố. Kiến thức này, nếu mang về thế giới cũ sẽ gây ra chuyện lớn. Trước đây tôi chưa từng suy nghĩ sâu sắc, nhưng liệu tôi có ổn không khi đọc cuốn sách này?
Trái ngược với sự lo lắng của tôi, mắt Minori lại sáng rỡ lên.
「Ra là vậy, cách chứng minh một điều 'không có' ở thế giới này là làm như thế à. Ở thế giới bên kia thì chỉ cần giả định 'có' rồi dẫn đến mâu thuẫn là được, nhưng ở thế giới này không có phép phản chứng thì không làm thế được. Phải tạo ra một thuật toán, rồi từ đó chỉ ra rằng không thể cấu thành được.」
「Trông cô vui nhỉ, Minori.」
「Tất nhiên rồi. Mà này, cái tên Thuật toán Gerono này, nghe quen quen.」
「Ể?」
Nhắc mới nhớ, tôi cũng có cảm giác đã nghe ở đâu đó. Lạ thật. Ở thế giới của chúng tôi không có thuật toán nào như vậy, và tôi gần như không biết gì về toán học của thế giới này. Vậy mà lại nghe quen, thật là mâu thuẫn.
「Chờ đã, nhớ ra rồi. Gerono là họ của Moldaca mà!」
「Vâng ạ. Người phát minh ra Thuật toán Gerono là cha của Moldaca-san.」
「Hà…」
Vậy là có tới ba nhà toán học đã góp phần vào Giả thuyết Riemann ở ngay gần mình.
Iriha cúi mặt, nói một cách khó xử.
「Moldaca-san gọi em là kẻ cắp là vì lý do này. Thuật toán của cha mẹ em chỉ là một phiên bản mở rộng nhỏ của Thuật toán Gerono. Dù không phải là cha mẹ em, thì ai đó cũng sẽ đi đến sự mở rộng này thôi. Thực tế, cha của Moldaca-san cũng đã chỉ còn cách một bước nữa.」
「Thì ra là vậy.」
Không phải là ăn cắp thật sự, mà là kế thừa ý tưởng.
「Chẳng hiểu gì cả,」
Minori nói thẳng. Đó không phải là lời nói vì không hiểu thật, mà là để chỉ trích Moldaca.
「Một khi đã công bố, thuật toán đó là của chung. Ai dùng thế nào cũng không thể phàn nàn được. Toán học chẳng phải đã phát triển bằng cách kế thừa trí tuệ của người đi trước như vậy sao.」
「Tất nhiên là vậy ạ, và em nghĩ Moldaca-san cũng hiểu điều đó, nhưng…」
「Về mặt tình cảm thì khó chấp nhận thôi,」 tôi đồng cảm với Moldaca. 「Cậu ta có vẻ tự hào về gia tộc mình, và chắc cũng rất yêu quý cha mình. Nếu chứng minh được Giả thuyết Riemann, tên tuổi sẽ được ghi vào lịch sử. Chắc cậu ta tiếc nuối vì cha mình đã không nắm bắt được cơ hội đó.」
「Hừ. Toàn những kẻ vớ vẩn.」
Có lẽ Minori không hiểu được cảm giác yêu thương cha mẹ. Không những không hiểu, mà cô ấy còn coi thường những cảm xúc như vậy.
「Việc Moldaca hăng hái tham gia tiêu diệt Ma vương chắc cũng vì lý do đó. Dù tiêu diệt Ma vương cũng chẳng có lợi ích gì với tư cách là một nhà toán học, nhưng ít nhất cũng là danh dự cho gia tộc.」
「Với tư cách là một nhà toán học, nếu có thể phát minh ra một ma thuật mới thì đó cũng là một vinh dự đấy ạ. Có rất nhiều ma thuật mang tên của các nhà toán học.」
「Ra là vậy à.」
Mà, đúng là ở thế giới của chúng tôi cũng có những công nghệ mang tên của các nhà toán học. Như mã hóa RSA chẳng hạn.
「Quan trọng hơn. Giờ đã hiểu được tổng quan của cuốn sách này rồi. Quay lại đọc luân phiên thôi.」
Minori tỏ ra không có hứng thú gì với Moldaca hay danh dự.